🤔 課程摘要

部分分式積分法是一種將複雜的有理函數（多項式除以多項式）分解為數個較簡單的分式和的技巧，而這些簡單分式是我們可以直接積分的。關鍵步驟包含：

• 檢查次數：若分子次數 $\ge$ 分母次數，先進行長除法。
• 因式分解：將分母做完全的因式分解。
• 設立部分分式：根據分母的因式類型，設立對應的部分分式。共有四種主要情況。
• 解出係數：使用代入法或比較係數法，求出未知的係數。
• 積分求解：對分解後的各個簡單分式進行積分。

1. Case I：相異線性因子
   若分母有 $(ax-b)$ 因子，則部分分式包含 $\frac{A}{ax-b}$。
2. Case II：重複線性因子
   若分母有 $(ax-b)^k$ 因子，則部分分式包含 $\frac{A_1}{ax-b} + \frac{A_2}{(ax-b)^2} + \dots + \frac{A_k}{(ax-b)^k}$。
3. Case III：相異不可約二次因子
   若分母有 $(ax^2+bx+c)$ 因子 (其中 $b^2-4ac < 0$)，則部分分式包含 $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$。
4. Case IV：重複不可約二次因子
   若分母有 $(ax^2+bx+c)^k$ 因子，則部分分式包含 $\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots + \frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}$。

🎯 學習目的

• 判斷何時需要對有理函數使用長除法。
• 能根據分母的因式分解結果，正確設立對應的部分分式。
• 熟練運用代入法和比較係數法來求解未定係數。
• 能對分解後的各類型簡單分式（如 $\frac{A}{ax+b}$, $\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$）進行積分。